Ondícula

ondiculas

Las ondículas o wavelets son funciones que representan oscilaciones y cumplen ciertos requisitos matemáticos. Se utilizan en el análisis y procesamiento de señales para describir, desde un punto de vista teórico, datos u otras funciones.

Las ondículas son un instrumento matemático que se emplea en el tratamiento de datos y señales. Son la base de toda una teoría matemática que ha permitido revolucionar la era digital y facilitar desde la predicción de terremotos y tumores hasta las retransmisiones en streaming. A esta clase de objetos matemáticos también se les conoce como óndulas, ondeletas u onditas. En inglés se utiliza la palabra wavelet para referirse a la ondícula, y en francés se dice ondelette. El nombre del término tiene origen en la perspectiva de descomponer un objeto continuo como una onda o función, en elementos indivisibles (átomos) o partículas discretas. Al combinar las palabras onda y partícula surge los términos ondícula u óndula.

La ondícula es una herramienta matemática que se emplea para describir y analizar datos o funciones y es la base de toda una teoría matemática. Las ondículas son funciones matemáticas que cumplen unos estrictos criterios. A partir de las ondículas podemos modelizar una función como la superposición de éstas. Es decir, mediante operaciones de suma y transformación de ondículas se puede describir matemáticamente funciones más complejas.

En su definición física, la ondícula nos permite representar fenómenos físicos que llamamos señales como una superposición de funciones matemáticas, lo que simplifica mucho su tratamiento. La aplicación de las ondículas reduce la complejidad de muchos problemas, siendo muy útiles en problemas relacionados con las señales mecánicas de los terremotos o con las señales electromagnéticas de un escáner o resonancia médica. Las ondículas pueden usarse para extraer información de muchos tipos de datos diferentes, como señales de audio e imágenes, y son adecuadas para la aproximación de datos con variaciones o con discontinuidades abruptas.

La idea fundamental que convierte a las wavelets en una herramienta tan interesante, es la de analizar funciones de acuerdo a escalas. En el análisis por wavelets, la escala que se utiliza para analizar los datos juega un papel especial. Los algoritmos que utilizan wavelets procesan los datos a diferentes escalas o resoluciones. Esto quiere decir que cuando se observa una señal o función utilizando una ventana ancha, no se observan los pequeños detalles. En cambio, si la ventana utilizada es estrecha, los pequeños detalles son observables. En el análisis por wavelets esas ventanas se ajustan automáticamente al cambiar de resolución, lo que hace que las wavelets sean una herramienta útil e importante para el tratamiento de señales como las imágenes.

Además, las ondículas nos permiten extraer la información de señales incompletas o dañadas. Aplicando operaciones de convolución, podemos combinar las ondículas con las porciones de señal que tengamos para recuperar la información completa de la señal original.

Definición de ondícula

Las ondículas están definidas por la función de ondícula, también conocida como ondícula madre, y la función de escala, a la que también se llama ondícula padre. La notación estándar para ambas es ψ(t) y φ(t), respectivamente, en el dominio  del tiempo.

Representación de función de ondícula (wavelet madre) y función de escala
 

¿Qué es una ondícula madre?

Una ondícula madre es una ondícula a partir de la cual se generan otras aplicando transformaciones matemáticas. Esta función que usamos como prototipo es la base del análisis de wavelets. Cualquier función no puede ser una ondícula madre, esta debe definir una base ortonormal en L2(ℝ) y cumplir la condición de admisibilidad.

El análisis temporal de las ondículas se realiza utilizando dilataciones y traslaciones de dicha función. Gracias a esto, la señal original se puede representar como combinación lineal de la ondícula madre y de sus versiones trasladadas y dilatadas. Esto se denomina una expansión en wavelets (wavelet expasion).

La elección de la wavelet madre, y de este modo de la base o del marco de wavelets, no es única y depende del tipo de funciones o de datos a analizar. Una elección adecuada o la eliminación de coeficientes por debajo de un umbral prefijado, hace que las wavelets sean una herramienta excelente, entre otras, para la compresión de datos.

¿Qué son las ondículas complementarias?

Generalmente se necesita de un conjunto de óndulas para analizar completamente los datos. Las ondículas complementarias son el conjunto de ondículas que descomponen una señal sin saltos (gaps) o solapamientos (overlaps), de modo que el proceso de descomposición es una operación matemáticamente reversible.

Los conjuntos de wavelets complementarias son muy útiles para los algoritmos basados en compresión y descompresión de ondículas, donde es deseable recuperar la información original con la menor pérdida.

Tipos de ondículas

Las ondículas madre se clasifican en familias o tipos. Algunas de las familias de ondículas más usadas importantes son:

  • Ondículas de ricker o del sombrero mexicano.
  • Ondículas de Morlet
  • Ondículas de Haar
  • Ondículas de Daubechies
  • Ondículas triangulares
  • Ondículas biortogonales
  • Ondículas Coiflets
  • Ondículas Symlets
  • Ondiculas de Meyer
  • Ondículas gaussianas
  • Ondículas de Shannon

Origen e historia de las ondículas

La teoría de ondículas se basa en el trabajo de Joseph Fourier (siglo XIX) con su análisis en el dominio frecuencia, conocido como análisis de Fourier. Fourier asegura que cualquier función periódica de periodo T puede escribirse como superposición de funciones de onda básicas conocidas como armónicos, por lo que también se conoce como análisis armónico.

A lo largo del siglo XX las aportaciones de diferentes científicos sentaron las bases de las wavelets y su teoría. En 1909 el matemático húngaro Alfred Haar descubrió una base de funciones que resultaron ser la primera ondícula. En 1984 el francés Jean Morlet, con la ayuda del físico cuántico francés Alex Grossman, desarrolla el primer modelo que hace referencia a las wavelets. En 1987 la belga Ingrid Daubechies construye la primera wavelet ortogonal con soporte compacto, por lo que las wavelets pasan a ser una importante herramienta de cálculo.

Estos importantes avances juntos a otros, consiguieron revolucionar el tratamiento de señales en la era digital. Entre las aportaciones más destacadas podemos encontrar las de Yves Meyer en el desarrollo de la teoría matemática de las ondículas que le llevaron a ser premiado con el premio Abel en 2017. Más tarde, en el año 2020 Yves Meyer junto a  Ingrid Daubechies, Terence Tao y Emmanuel Candès fueron galardonados con el Premio Princesa de Asturias de Investigación Científica y Técnica por sus avances en la teoría de ondículas y las técnicas de detección comprimida y terminación de la matriz.

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